Dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) nazywamym dystrybucją skończonego rzędu jeśli istnieją funkcja ciągła \( \hskip 0.3pc g:\mathbb R\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz liczba naturalna \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc g^{(k)}\hskip 0.3pc \) oznacza pochodną dystrybucyjną rzędu \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) z funkcji \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \)
Niech
\( H(t) = \begin{cases}0, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.4pc t<0 ,\\1, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.4pc t>0.\end{cases} \)
Połóżmy
\( h(t) = \begin{cases}0, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.4pc t<0 ,\\t, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.4pc t>0.\end{cases} \)
Oczywiście pochodna w sensie klasycznym \( \hskip 0.3pc h^\prime(t)=H(t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\neq 0.\hskip 0.3pc \) Korzystając z definicji pochodnej dystrybucyjnej oraz wzoru na całkowanie przez części otrzymamy
\( \langle h^\prime,\varphi \rangle =-\langle h,\varphi ^\prime \rangle =-\displaystyle\int_0^{+\infty}t\varphi ^\prime(t)dt=-t\varphi (t)\Big|_0^{+\infty}+\displaystyle\int_0^{+\infty}\varphi (t)dt=\langle H,\varphi \rangle. \)
Zatem \( \hskip 0.3pc T_H=T_{h^\prime}\hskip 0.3pc \), co oznacza, że \( \hskip 0.3pc T_H\hskip 0.3pc \) jst dystrybucją pierwszego rzędu.
Ponieważ, jak zauważyliśmy poprzednio, \( \hskip 0.3pc \delta =H^\prime=h^{\prime\prime},\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) jest dystrybucją 2-go rzędu. Ogólnie, \( \hskip 0.3pc \delta ^{(n)}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją rzędu \( \hskip 0.3pc n+2.\hskip 0.3pc \)
Uwaga 1:
Niech \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją lokalnie całkowalną. Połóżmy
\( g(t)=\displaystyle\int_0^tf(s)ds. \)
Wówczas \( \hskip 0.3pc g^\prime=f\hskip 0.3pc \) w sensie dystrybucyjnym.
Istotnie, z teorii całki Lebesgue'a \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją różniczkowalną prawie wszędzie i ponadto \( \hskip 0.3pc g^\prime=f\hskip 0.3pc \) prawie wszędzie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Stąd, definicji pochodnej dystrybucyjnej oraz wzoru na całkowanie przez części mamy
\( \begin{aligned}\langle g^\prime,\varphi \rangle =-\langle g,\varphi ^\prime \rangle =& -\displaystyle\int_ {-\infty}^{+\infty}g(t)\varphi ^\prime(t)dt=-g(t)\varphi (t)\Big|_{-\infty}^{+\infty}+ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g^\prime(t)\varphi (t)dt=\\&\displaystyle\int_{-\infty} ^{+\infty}g^\prime(t)\varphi (t)dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\varphi (t)dt=\langle f,\varphi \rangle,\end{aligned} \)
co kończy dowód.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą, \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją skończonego rzędu, dokładniej rzędu \( \hskip 0.3pc 0,\hskip 0.3pc \) jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą oraz rzędu \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją nieciągłą.
Dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega ),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \)
nazywamy dystrybucją skończonego rzędu, jeśli istnieje funkcja ciągła \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz wielowskaźnik \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \) takie, że
\( T=\dfrac{\partial ^{| k|}g}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}}, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc | k |=k_1+ \ldots +k_n.\hskip 0.3pc \)
